FUNCION LINEAL

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

cuando b es distinto de cero

EJEMPLO

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo  de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

PENDIENTE DE UNA RECTA

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.

1)  (-3,4) y (6, -2)

2)  (-3, -4) y (3, 2)

3)  (-4, 2) y ( 3, 2)

4)  (2, 4) y (2, -3)

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Ecuación de la recta

(Segundo medio)

Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.

La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su existencia.

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

1.– Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales();  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa ey el valor de la ordenada.

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,  m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma 

y − y₁ = m(x − x₁)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,  la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0  

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos a información:  m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

la cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.

Además:

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n, queda n = 1.

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,

5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y₁ = m(x – x₁)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁ = (x₁,  y₁)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y₁ = m(x – x₁)