FUNCION POLINOMICA Y RACIONAL

FUNCIONES POLINOMICAS

Funciones de grado mayor o igual a dos

Introducción

Anteriormente estudiamos las siguientes funciones:

f(x) = b,  función constante

f(x) = mx + b,  función lineal

f(x) = ax² + bx + c,  donde a es diferente de cero,  función cuadrática

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,  donde a es diferente de cero,  función cúbica

Definición:  La función P(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁x + a₀ ,  donde a_n es diferente de cero, se conoce como una  función  polinómica  de  n  ésimo  grado.    Los números

a_n, a_n-1, ..., a₁,a₀  se llaman los coeficientes de la función.

Nota:  Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado.  La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.

Definición:  Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.

Ejemplo:  Considera la función f(x) = x² - 4  ilustrada gráficamente:

Muestra que las intersecciones con el eje x en  -2  y  en 2  son las raíces o soluciones de f(x) = x² - 4, de manera que f(-2) = (-2)² - 4 = 0  y  f(2) = (2)² - 4 = 0.

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x² + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3   y  x = 1 son las soluciones o raíces.

Nota:     Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de  y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0.

División Sintética

Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema.  Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero.

Ejemplos para discusión: 

 

Ejercicio de práctica:

En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de la división sintética.

Teorema del residuo:  Si  R  es el residuo después de dividir el polinomio  P(x)  entre

 x - c, entonces P(c) = R.

Ejemplos para discusión:

1)  Si P(x) = 2x³ - 5x² + 4x - 6, halla P(3).

2)  Si P(x) = 4x⁴ + 10x³ + 19x + 5,  halla P(-3).

Estos valores también se pueden obtener evaluando directamente en el polinomio.

Ejercicio de práctica:  Si P(x) = 3x⁴ - 16x² - 3x + 7,  halla P(-2).

 FUNCIONES RACIONALES

Definición:  Si P(x)  y  Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Ejemplo para discusión:  ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

Teorema:  Sea f una función racional definida de la forma:

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios.  Si a es un número real que Q(a) = 0 y  P(a) es diferente de cero, entonces  la recta  x = a  es  una  asíntota  vertical  de la gráfica de  y = f(x).

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

Teorema:  Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

entonces:

1) Para m < n,  la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta  y = a_m/b_n, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n,  no hay asíntotas horizontales.

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

Gráfica de funciones racionales

 Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.

Ejemplos para discusión:  Dibuja la gráfica de:

Ejercicio de práctica:  Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones.  Dibuja la gráfica.

Teorema:  Si f es una función definida de la forma:

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x).  La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.

Ejemplo para discusión:  Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.

Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

Dibuja la gráfica.